2017年宁夏大学数学计算机学院601数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 证明：若f 在
【答案】
设
上连续，且对任何
设
上恒正.
则f 在由题设
知时同理可证f (x ) 恒负.
上处处连续，对x 在
当
上(且且
上恒正或恒负.
假
如
使得
那
么
异号，由根的存在定理知，在区间
这与题设矛盾. 故即f
在
2．
设定义在闭矩形域
【答案】
设
时，有
固定的
内至少存在一点
上，若f 对y 在为y 的连续函数，
故对
关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.
又由于对x 关于y 为一致连续. 故对上述
且
现取
便有
也存在对满足
的任何y ，
只要
只要且时，总有
因此，f 在S 上连续.
3． 证明下列命题：
(1) 若
在
上连续増，
则(2) 若
为在
上的增函数。
上连续，且
则
为
【答案】(1) 由
在
上连续及洛必达法则，得
上的严格增函数，
如果要使
在
上为严格増，
试问应补充定义
因此F (x ) 在点右连续，从而在上连续，又当时，
根据积分中值定理，存在
使所以
由故
在为
上单调增，得上的増函数。
从而当
时，
(2) 由题设，可得因此在内可微，且
由而
知，函数
故
为
在上非负，且不恒为零，所以内的严格增函数. 因
从
所以补充在
上严格增。
使函数
成为上的连续函数，再由可得
4． 证明：函数
【答案】下面用归纳法证明
在x=0处n 阶可导且
其中
命题成立. 设.
其中n 为任意正整数.
为次数不超过3n 的多项式. 当n=l时，
其中
满足要求，则
因为故
的次数不超过3n ，所以
的次数对任意
的次数不超过成立. 由于对任意的
于是
所以
5． 设
和在点
的某邻域内存在 有：
在点连续，证明则
也存在，且
的邻域可微，从而由微分
【答案】对于固定的
与
令中值定理，
即有
于是有
故
.
存在，且
命题得证.
，且线性变
换
其中u (x ，y ) 具有二阶连续偏导数. 证明：
于是
同理
将其代入方程中整理得
由已知条件，原方程变为
所以有
由为方程
知，一元二次方程
有两个不等的实根，而由前两个方程知
把方
程
为方
6． 设常数A ，B ，C 满
足
变为方程
程
的两个不同实根.
【答案】由已知得关系式
的两个根，由第三个不等式知
二、解答题
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