2017年郑州大学数学与统计学院915高等代数考研题库
● 摘要
一、分析计算题
1． 证明：①若A 为n 阶实对称矩阵，则
【答案】①设且
为实对称的.
是正定矩阵；
）均为实数，
②若A , B为实对称矩阵，则A-B ，B-A 为半正定
的特征根为
故
为正定矩阵.
由于A 为实对称的，故其特征根（设为
d 淹分性显然，下证必要性.
设A-B 半正定，则显然B-A 半负定. 又因为B-A 半正定，故对任意实n 元列向量X 有
从而
2． 试证：n 维欧氏空间的内积是一个双线性函数
【答案】
是V 上一个二元函数，且
是一个双线性函数.
3． 设
都是n 阶非零矩阵，满足
证明：每个
【答案】由题设，对每个的对角阵，所以只要证明每个
事实上，
因
的非零列
令
分别用
左乘该式两端，并结合
所以
这说明线性方程. 得r （Ai ）=1.
因此，A=B.
，有
都相似于对角阵diag （1, 0, …，0）. 均有
可见
均相似于对角线上元素为1或0
依次存
在
使
有r （Ai ）=1即可.
所以对固定的正整
数
线性无关 的解空间维数
即
所以，
，
考虑到
4． 证明：如果A 是正定矩阵，那么也是正定矩阵.
【答案】如果A 是正定矩阵，那么有可逆矩阵C 使
则
即
5． 设
【答案】
应用辗转相除法可得
所以f （x ）有重因式. 又
所以f （x ）的不可约因式只有4重因
式.
因此，f （x ）的标准分解式是
6． 求出通过点
【答案】设球面的中心为将四个点代入，得
半径为r ，其方程为
的球面的方程.
考虑到
可知
的
也是正定矩阵.
判断f U）是否有重因式，并求f （x ）的标准分解式.
易解出，而故此球面方程为
7． 设
都是线性空间V 的子空间，且
=维
=r, 可取
的一组基
证明：如果的维数和因
的维数相等，
那么这也是
中r 个线
【答案】设维
性无
关的向量，因维
故它是
的基. 因此
8． 设V 是数域P 上3维线性空间，线性变换
在V 的基
问，可否在V 的某组基下矩阵为
为什么？
【答案】设A 的特征矩阵为
I 的特征矩阵为
则
下矩阵为
所以A 的不变因子为
所以8的行列式因子为
故
与
有不同的不变因子，从而不等价，即A 与B 不相似，因此，在任一组基
下的矩阵都不可能为
9． 设
问a ，b 满足什么条件f （X ）正定.
【答案】（1）当变元的个数为偶数2m 时，f 的矩阵为