2017年中北大学理学院822高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 2． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关
D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是 的基础解系， 为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于故 5． 若 是 因此 线性无关，且都是 知 的解. 是 的特解，因此选B. 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 的基础解系. 又由 都是4维列向量，且4阶行列式 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得 二、分析计算题 6． 不全为0, 求证: 【答案】证法14 且 于是 且 再由③有 从而存在使 进而， 由⑥知 由④，⑦得证①. 证法2 7． 设 则 两边乘 有 则①式改为 设把D 的第j 行换为 1得 证明： ，因为 【答案】证法1（作加边行列式）
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