2017年中北大学理学院822高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而 2． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
3． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
由②有
为空间的两组基，且
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
.
则
也不是线性变换，
比如给
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与
的两个线性无关的解.
考虑到
4． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
是矩阵，则则
的一个特解，所以选C.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
5． 齐次线性方程组
未知量个数，
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
二、分析计算题
6． 设V 是实数域R 上三维向量空间，
又设线性变换试求（1）T 在（2）T 的逆变换（3）
在
在下
中的变换公式；
中的变换公式； 中的变换公式.
下的矩阵为A ，由①知
（2）
其中
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是V 的一组基.
【答案】（1）设T 在基
（3） 7． 设
是欧氏空间V 的一个变换. 证明：如果
保持内积不变，即对于
那么它一定是线性的，因而它是正交变换.
【答案】
因此
是一个线性变换，因而是一个正交变换.
8． 设f （X ，Y ）为定义在数域P 上的n 维线性空间V 上的一个双线性函数，证明：
可以表示成两个线性函数
积的充分必要条件是f （X , Y）的度量矩阵A 的【答案】设f （X ，Y ）在基
若
下的度量矩阵为
则A 可以分解成行矩阵与列矩阵之积，设
则
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