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一、证明题

1． 证明:若是闭区间.

【答案】若f 在D 上不恒为常数. f 在D 上有界且能取得最大值、最小值, 分别设为M , m 则

且下证任给

2． 设

【答案】

由题设

可知

于是原命题得证.

3． 设f （x , y , z ）有连续的偏导数, 作自变量变换:y , z）变成F （u , v , w）. 证明:

【答案】方法一对t>0, 若将u , v , w 都换为tu , tv , tw, 则相应地x , y , z 也换成了 tx , ty , tz , 即

在上式两边关于t 求导得

令t=1可得

方法二由f （x , y , z ） =F（u , v , w ）, 利用一阶微分形式的不变性可得

由变换式可知,

, 它把函数f （x ,

证明:

介于1与之间.

由介值定理,

必存在

使

从而

,

故

于是

即

:是有界闭域, f 为D 上连续函数, 且f 不是常数函数, 则f （D ）不仅有界, 而且

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由此易知, 当du=u, dv=v,

dw=w时, 有

反之也如此, 这表明结论成立.

二、解答题

4

． 设

【答案】由

又

在

计算积分

而

上连续, 从而由定理知

5． 计算第二型曲面积分

【答案】显然

因球面的外侧单位法向量为所以

6． 周长一定的等腰三角形中, 腰与底成何比例时

, 它绕底边旋转所得旋转体的体积最大？

【答案】

设周长为, 腰长为X

, 底长为

2y , 则有

于是, 旋转体体积为

由此推出

, 及

. 即腰与底的比为时, 旋转体的体积最大.

收敛可得级数

一致收敛

.

及

,

即. 等腰三角形绕底边旋

, 底面半径为

转所得旋转体是由这样两个同样的圆锥组成的, 其中每个圆锥高为

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7． 计算

【答案】设球面

其中S 是球面

并取外侧为正向.

所围成的区域为V , 则由GauM 公式知

由对称性知

, 故有

8． 计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数）:

（1）

（2）

;

【答案】（1）当n=l时, 有当

时, 设

从而有

（2）令

则有

, 于是

因此有

9． 求积分

【答案】而

,

而

, 所以有.