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一、证明题

1． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

则F （x ）, G （x ）在又因为

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

因此

应用柯西中值定理可得, 存在

,

上满足柯西中值定理的条件, 于是存在

, 使得

, 使得

二、解答题

2． 设

（1）垂直于x 轴； （2）平行于z 轴； （3）恒为零向量. 【答案】 （1）

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试问在怎样的点集上gradu 分别满足:

由gradu 垂直于z 轴，而z 轴的方向向量是（0，0, 1）, 故

即2x=3xy.

（2）若gradu 平行于z 轴，则

（常数）

即

（3）gradu 恒为零向量，则

即

解得

|

或

3． 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点, 使

（1）

【答案】（1） f （x ）在

（2）上连续, 又因为

所以f （x ）在x=0右连续. 故f （x ）在

内连续

.

故f （x ）在（2）所以

时

,

在x=0不可导.

则

所以

;

当

与积分路线无关, 可微函数F （x , y ）应满足怎样的条件?

5． 求方程

【答案】设格递增. 由于

在此区间上,

现估计近似根的误差. 而

在

上的最小值为,

故

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内可导, 且, 根据罗尔中值定理, 存在一点

在

, 使

上不满足罗尔中值定理的条件.

当时

,

,

所以

故

函数f （x ）在区间[―1, 1]内不存在, 使

4． 为了使曲线积分

【答案】这里P=yF （x , y ）, Q=xF （x , y）则该积分与路线无关

的根的近似值, 精确到

因为

.

所以f （x ）在

. 所以实根在区间

于是取

,

不满足精度要内.

上严

求, 继续迭代

.

由于已经精确到

, 故取近似根

, 所以

6． 求下列极限（其中P>1）:

（1）（2）

【答案】（1）考察级数因P>1, 故级数

存在N , 当n>N时, 有

从而, 原式=0. （2）考察级数因P>1时级i

收敛, 故由柯西收敛准则, 任意

. 存在N , 当n>N时,

收敛, 据柯西收敛准则, 任意

从而, 原式=0.

7． 设函数f （x ）在区间（a , b ）内连续, 函数条件下, 方程

并研宄例子: （1）【答案】设若（i ）设又（ii ）

由于数

8． 求曲面

【答案】由于

即存在点

.

由于

能确定函数

在区间（c , d ）内连续, 而问在怎样的

显然F （X , y ）在上连续

.

, 满足

就可在附近确定隐函数

都在R 上连续, 且所以

故方程

不能确定函

, 故由上面的结论知方程可确定函数y=y（x ）.

的面积, 其中a , b 是常数满足.

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