2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设当
因
为
时, 时
,
, 而
, 所
以
. 证明:f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.
, 从
而
, 这与题
设
【答案】反证法, 假设f （x ）、g （x ）都在x=0连续, 则
矛盾. 故f 与g 两者中至多有一个在x=0连续.
二、解答题
2． 设f （x ）在
【答案】由f （x
）在
时
有其中
. 对任意, 因f （x ）在
存在整数n , 使得
上有界, 所以存在M>0,
使得
,
.
上一致连续, 则存在非负实数a 与b , 使得对一切
上一致连续,
所以对
,
当
均有
,
且
因此, 当n 为正整数时有
当n 为负整数时有
由
知
, 代入上式得
记 3． 设
, 记
其中
是关于x 的多项式, 求
和
.
【答案】由莱布尼茨公式, 有
, 则a>0, b>0, 使得
.
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由此可知,
和
所以
4． 设函数
（m 为正整数）, 试问:
（1） m 等于何值时, f 在x=0连续； （2） m 等于何值时, f 在x=0可导. 【答案】（1）当（2）当
时,
时,
, 故当m 为正整数时, f 在x=0连续. , 当
不存在,
故当正整数
, 即m>1时, 时
, f 在
可导.
;
5． 设f 为可导函数, 求下列各函数的一阶导数:
（1）（2）【答案】 （1）
（2）
.
.
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6． 在曲线x=t, y=t, z=t上求出一点, 使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4,
【答案】对曲线上任意一点（x , y , z ）, 有设曲线在即
7． 求螺旋线
【答案】
则
8． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式:
（1）（2）⑶【答案】 （1）
因此
f （x ）带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为
（2）
,
故
于是
（3
）
*
5
23
处的切线平行于平面x+2y+z=4, 则有
解之得
或
对z 轴的转动惯量, 设曲线密度为L
所以所求点为（﹣1, 1, ﹣1）或
到含x 的项； 到含x 的项.
,
5
,