2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
, 指出f （x ）的所有间断点, 并讨论它们的类型.
.
时,
. , 但
故x=0为第二类间断点;
对
, 由于
所以
是连续点;
也是连续点;
.
是连续点, 否则为第一类间断点.
【答案】f （x ）可能的间断点为对x=0, 取
,, 则当
类似地讨论可知, 对
, 易知
由此可见, 当k 是完全平方数时, 类似可讨论
:的情形.
二、解答题
2． 把函数
在（0, 4）上展开成余弦级数.
【答案】对f （x ）作周期为8的偶延拓, 得一连续偶函数, 故在（0, 4）上可将f （x ）展为余弦级数
.
所以由收敛定理, 在（0, 4）内.
3．
设函数（f x ）
在
只要对固定的故对上述则当nN 时
, 有
, 记n=[x]2N, 因为
即
由式（
1）, 有
, 故
, 使得
.
再由式（2）, 有
艮
P
本题亦可用反证法予以答: 若结论不对, 则存在记
由f （x ）在只要
就有, 则
, 对. 由
, 相应地存在或
上一致连续可知, 对上述
, 使得
的有界性知, 它存在一个收敛子列, 不妨设为它本身, 满足
,
上一致连续, 且就有
, 取
且为正整数, 将[0, 1]区间k
等分.
记分点
由已知条件,
对每个
,
当nN 时, 有
. 令
有
,
,
,
有
. 试证:（n 为正整数）
,
,
【答案】因为f （x ）在上一致连续, 所以
则每个小区间的长度
于是, 当n 充分大时, 有
9
从而有
由此可得
这与
4．
设
【答案】如果存在某证明如下:由又由
的假设矛盾.
. 在何种条件下能由此推出, 使得在知, 对任给的
, 使得当
内
, . 存在
使得当
时, 有
?
,
则由题设条件能推出
时, 由于
所.
, 对上面的, 存在
以当时, 从而即
5． 判别下列反常积分的敛散性, 若收敛,
指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）（2）（3）（4
）（5
）
【答案】 （1）
易知,
当p>1时绝对收敛; 当又因为
而
所以当综上所述,
当p>1时绝对收敛, 当（2）
其中
时条件收敛.
时绝对收敛; 当时发散.
时条件收敛, 当时发散.