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一、证明题

1． 设

为无穷小数列,

为有界数列, 证明:

为无穷小数列.

又因为

为无穷

时,

有

因此, 当n>N

【答案】因

为有界数列, 故存在

使得对一切正整数n , 有

小数列, 所以对任

给存在正整数N ,

当

时, 所以故为无穷小数列.

2． 设函数f （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导, 且满足

证明:至少存在一点【答案】令中值定

理知,

, 使得

因此, 由罗尔定理可知, 故有

3． 证明域

使得

在区间I 上内闭一致收敛于f 的充分且必要条件是:对任意在

上一致收敛于f.

总存在x 0

的一个邻域而当

在[a, b]上一致收敛于f , 因此

由已知时

,

覆盖[a, b].

有

所以

在[a, b]上一致收敛. 由[a, b]的任意性, 得

在I 上内闭一致收敛于f. .

使得

在有

和I 的一个内闭区间[a, b],

使得在

上一致收敛于f. 上一致收敛于f.

存在x 0的一个邻

, 使得

由于

, 使

.

, 则F （x ）在[0, 1]上连续, 在（0, 1）内可导. 由题设, 利用积分

【答案】必要性

所以

充分性

从而

显然, 当x 0取遍[a, b]上所有点时,

由有限覆盖定理, 存在有限个区间覆盖[a, b].不妨设

取

则当n>N时,

4．

设连续函数列明

:

均有值,

取

【答案】因为

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 而g （x

）在在[a, b]上一致收敛于f （x ）, 所以, 存在N 1, 当即

I

又因为

时,

上连续, 证

在[a, b]上一致收敛于g （f （x ））.

和f （x ）在[a, b]上连续, 一定存在最

因此有又函数g （x ）

在上一致连续, 所以

又注意到

致收敛于g （f （x ））.

上连续, 所以g （x ）在[﹣M , M]上也连续, 因而g （x ）在[﹣M , M]

当

在[a, b]上一致收敛于f （X ）, 对上述

因此可得

当n>N时,

,

这说明

, 有

在[a, b]上一

时, 有

二、解答题

5． 设S 是椭圆

面面,

的上半部分,

点

. ,

为S 在点P 的切平

为点0 （0, 0, 0）到平面的距离, 求

【答案】设（X , Y , Z ）为上任意一点, 则的方程为

由此易知

由S 的方程

有,

于是

其中

:

是S 在xOy 平面上的投影.

作极坐标变换容易求出:

6． 求极限

【答案】令

（k 为自然数）.

, 由

可得原极限

.

7． 判别下列广义积分的收敛性:

（1）

（2）

.

, 所以当p>1时, 取

由于此处当

,

故时, 因为

收敛.

, 所以当p —1<1时. 即当p<2时,

收敛. （p 是固定的）,

.

【答案】（1）此广义积分有瑕点x=0与当则有

时, 因为

, 有

以上两方面结合起来, 当1

当

时, 因为

, 有

, 所以只要取

, 则有

由于此处当

时, 因为

,

故

收敛.

, 所以

发散.

以上两方面结合起来, 则原广义积分发散.

8． 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立.

【答案】（1）设

（2）由的不足近似值形成数列（3）设M 是由

, 则S 是有界集, 并且

但

故

有理数集S 在Q 内无上、下确界, 即确界原理在有理数集内不成立.

这个数列是单调有上界的, 2是它的一个上

界. 它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界. 因此, 单调有界原理在有理数集内不成立.

的所有不足近似值组成的集合. 则1.4是M 的一个下界, 2是M 的一个上界.

, 故在有理数集内不存在聚点. 因此, 聚点定理在有理

即M 是一个有界无限集, 但它只有一个聚点