2018年中国矿业大学(徐州)理学院643数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设函数
（1）当n 为正整数, 且（2）
.
, 且
, 所以
又因为
是以为周期的函数, 所以
所以当
（2）由（1）知, 当
时,
有
. 时, 有
令
可得
时, P 0是E 的聚点.
时,
则对任给的
当充分大时, 这说明P 0是E 的聚点.
必要性 若P 0是E 的聚点, 则对任给的含有E 中的点, 取出一个, 记为P 1.
取
则
中含有E 中的点, 取出一个, 记为P 2. 依此类推, 取
则
这样继续下去, 得到一个各项互异的点列 3． 设
（1）
证明:
第 2 页，共 31 页
时, 证明:
【答案】（1）因为
.
2． 证明:当且仅当存在各点互不相同的点列
【答案】充分性
若存在时, 有
含有
的无穷多个点, 又
从而
总存在N , 使得n ＞N
中含有E 中无穷多个点,
则
中
中必含有E 中的点, 取
中含有E 中的点, 取出一个, 记为P n. 易见
且
（2）（3）
【答案】（1
）因为
时, 有
取
则当
所以对于任给的
当
同时有
时, 有
存在.
成立, 因而
.
使得当
故
（2
）对于任给的
时,
时,
故
（3）对于任给
的
时
, 时,
有
取
则当
时有
故
4． 设f （z ）是在
（1）
（2
）
内的可微函数，且满足：
其中0 证 , 存 在 因 为 , 使得 当 时 , 当使得 当 由局部保号性知, 存 在 存在 , 使得当 再由函数极限的局部有界性知, 存在 则当 时, 有 时 , 当使得当 第 3 页，共 31 页 明：级数 【答案】 绝对收敛. 即这里 5． 设f （x ）在明: 至少在两点达到最小值. 【答案】由题设知f （x ）在函数的介值性知, 所以 , 使得 , 使得显然 上的值域为 . 再由（f x ）在, 但 , 即F （x ）至少在两点达到最小值. . 又因为 上的值域也是 , 由连续 , 上连续 , 由比值判别法知 , 且f （x ）在x=a处达到最小值f （a ） 二、解答题 6． 求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程: （1）（2） 【答案】（1）1, 法线方程为 （2） 7． 求由抛物线 【答案】因为积为 其中 所以 第 4 页，共 31 页 ; . , 故切线方程为 , 即 故切线方程为y=1, 法线方程为x=0. 与直线 所围图形的面积. 的交点为 与 所以由这两条曲线所围图形的面 , 即 . 法线斜率为－
相关内容
相关标签