当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明极限

存在.

有

令 即由

得

严格单调递减, 根据单调有界定理,

知

存在.

2． 设曲线

证明

的周长和所围成的面积分别为L 和S , 还令.

收敛,

即

存在,

故

有下界,

则

【答案】由（1）的结果, 对每一

【答案】由对称性知

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

3． 证明下列不等式:

（1）（3）

【答案】（1）因为续, 且不恒等于1或

, 所以由积分不等式

即

（2）因为在[0, 1]

上, （3）由于在

上,

, 且函数不恒等于1和e , 所以有

, 所以有

（4）设大值点,

而可导函数惟一的极大值必为最大值,

所以又从而

4． 设函数

【答案】

于是, 有

在

连续, 并且

求证:

存在, 并且

,

且, 由此得

为函数f （x ）在[e, 4e]上的最大值, , 故

在[e,

4e]上的最小值,

,

则

,

得f （X ）在[e, 4e]上惟一的驻点为

. 可验证它是极

（

2）

（4）（

, 函数

在

上连

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

把这些式子左右两边对应相加得

由于

在

连续,

对

取极限

,

此即

5． 设曲线由极坐标方程

存在, 且

给出, 且二阶可导, 证明它在点

处的曲率为

【答案】取曲线的参数方程为. 则

6． 设

为递减正项数列. 证明:级数

与

与

同时收敛, 同时发散.

和

. 有

由此知, 若又因为

由此知, 若于是

7． 证明:若

在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列

使得

在, 上一致收敛.

使得

在I 上一致收敛.

【答案】因为

【答案】设正项级数的部分和分别是.

收敛, 则有上界, 从而, 有上界, 即有上界, 因此收敛.

收敛, 则有上界,

故也收敛.

与同时收敛,

同时发散.

在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i , 总存在自然数而级数

收敛, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数