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一、证明下列各题

1． 1) 证明：若数列

满足下列条件之一，则

是无穷大数列：

2) 利用1) 题(1) 的结论求极限：

1)(1) 因为【答案】时，

于是

由此得，当n>N时，所以

也是无穷大数列. (2) 因为

，设r 是一个满足不等式

于是，当n>N时，

因为r>l, 所以

2)(1)

是无穷大数列. 因此，

是无穷大数列，即

是无穷大数列.

的实数，由数列极限的保号性知，存

，由

知

是无穷大数列，

所以对于

存在正整数N ，使得当n>N

在正整数N ，使得当n>N时，

根据上题(1) 的结论有

(2)

于是

所以

故

2． 设S 为非空数集，定义

⑴

【答案】(1) 设又有对于任意正数

界，即

(2) 同理可证. 3． 设

【答案】已知

且满足

.

即

证明

:

有下界又由

可推出

若

则

即

单调递减. 由单调有界定理，在不等式

存在，记为

可知

矛盾.

由此可见

的极限存在，并求出其极限值.

存在

(2)

则任意

使得

证明：

则于是

，

即

故

是的一个下界.

故

是

的下确

两边，

令

再在不等式

中，令可得

4． 证明级

数

【答案】 充分性 任给正数当然对

存在正整数N , 对一切

总有

的m

有

从而

由柯西准则知级数必要性 若级数特别地，取

5． 证明下列结论：

(1) 若

在

上严格递增，且对

即

解之得

存在某正整数N , 对一

切

总

有

收敛的充要条件是:任给正

数

收敛.

收敛，由柯西准则知对任给正数n 存在自然数

则对任意

有

当

时，

有则

(2) 设在

而数列

与在

则

上有定义，单调，对任意正整数

则. 使得

不以时有

使得

即

已知

从而

有为极限，从

【答案】(1) 假招

上严格递增，所以

有

(正常数) ，

即数列

也不以

为极限，矛盾，于是

知

(反证法) 若结论不成立，即存在

于是

矛盾. 从而当

时有的子列

(2) 不妨设再证：当

由

6． 设

(1) (2) (1) 设(2) 设

右边

则 右边

则

单调递增. 对时有

即

单调递増，则有

证明：

左边. 左边.

【答案】可以看出交换a , b 的位置，这两个等式两边的值都不变. 不妨假设

二、求解下列各题

7． 设

在

上连续，求证：

【答案】分两种情况讨论. （1）如果

在

上不变号，则

即要证的不等式成立. （2）如果又因为故有

在在

上变号，则存在上连续，存在

使得

（用微积分基本定理）

使得