当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设

, 证明函数

存在惟一的零点.

, 所以存在

, 所以f （x ）在

与有

使

.

之间至少存在一个零点.

上单调递增, 所以f （x ）存在惟一的零点. 在（0, 1）内都是单调不减的. 试证:f （x ）

, 即

知对

, 有

.

在式（1）中, 令

. 得

由式（2）、式（3）知, 连续.

由

3． 设

的任意性知, f （x ）在（0, 1）内连续.

，证明:

【答案】

所以

. 类似地可证:

, 从而f （x ）在

点

【答案】因为

则由f （x ）显然连续知, f （x ）在又因

2． 设f （x ）在（0, 1）内有定义, 且函数

在（0, 1）内连续.

【答案】这表明

令

得

所以

, 即

.

由

可知, 对

都存在. 又由

4． 分别用有限覆盖定理、致密性定理、区间套定理证明:若f （x ）在[a, b]上有定义, 且在每一点极限都存在, 则f （x ）在[a, b]上有界.

【答案】（1）利用有限覆盖定理证明:由已知, 使得在

内有

, 即

以此构造闭区间[a, b]的一个开覆盖.

f x ）（2）利用致密性定理证明:反证法. 假设（在[a, b]上无界, 则对任意正整数n , 存在使得设

. 于是得到数列, 则

, 矛盾

, 由致密性定理,

中存在收敛子列

,

,

, 设

则

,

（3）利用区间套定理证明:反证法. 假设f （x ）在[a, b]上无界,

则利用二等分法构造区间套

, 使得f （x ）在每个区间

5． 证明:f （x ）为区间I 上凸函数数.

【答案】

:

及

, 由f （x ）的凸性知

所以有

即

故f （x ）为I 上的凸函数.

为[0, 1]上的凸函数

.

..

及

, 因为函数

为[0, 1]上的凸函数, 所以

上无界. 由区间套定理, 存在唯一的

然后讨论f （x ）在点f 邻域内的有界性, 推出矛盾.

函数

为[0, 1]上的凸函

二、解答题

6． 求下列不定积分:

（1）（3）

【答案】（1）设

比较等式两端x 的同次幂系数, 得

由此, 得

（2

）（4

）

,

, 通分后应有

专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！

于是, 有

（2

）

（3）当n=0

时

, 当

时,

（4）

又因为