2018年浙江工业大学理学院665数学分析之数学分析考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1．
arctan
.
【答案】原式
2． 写出下列级数的乘积:
（1）（2）
【答案】（1）级数得第n 条对角线和
与级数
在
时均绝对收敛, 从而可按对角线相乘,
下面考虑n 的奇偶性
原式（2）因
收敛, 故级数
与
均绝对收敛, 按对角线相乘得
所以, 原式=
=1
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3．
求函数
可微性.
【答案】
在原点的偏导数与
, 并考察在（0
, 0）的
若
在（0, 0）点可微,
则
且
而
当
时,
从而 4． 设
【答案】
为单位球面
计算曲面积分
所以
在（0
, 0）不可微.
5． 求下列数集的上、下确界, 并依定义加以验证:
（1）（2）
（3
）（4） 【答案】（1）确界.
显然有是集合S 的一个上界. 对任意的
, 则
即
且
. 因此,
是S 的上确界.
S 的上、下确界分别为
不妨设
取
. 这里只证明是上
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（2）
则
（3）设
不妨设S 的上确界.
（4）
的上、下确界分别为
故S 无上界, 即S 的上确界为
和1. 1是S 的一个下界, 并且
取
.
任何大于1的数都不是S 的下界, 所以1是S 的最大下界, 即1是S 的下确界. 对任意的
内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界.
由无理数的稠密性可知, 存在无理数
的上确界为1, 下确界为
于是
并且
因此, 1是所以是
存
因为S 中的最小元素为
S 的最大下界, 即是S 的下确界. 由于在使得于是取
6． 求下列函数在指定点处的泰勒公式:
（1）（2）（3）（4）... 【答案】（1）
所以1是S 的一个上界, 对任意的
且满足不等式
因此, 1是S 的上确界.
在点（0, 0）（到二阶为止）；
在点（1，1）（到三阶为止）；
在点（0, 0）;
在点（1，﹣2）.
所以
其中
（2）