当前位置：问答库＞考研试题

一、计算题

1． 设

, 应用链式法则计算

即

则

【答案】把w 看作以下三个变换的复合

2． 研究函数

当y ＞0时,

当y ＜0时,

因此

所以F （y ）在y=0处不连续, 当

F （y ）连续.

的连续性, 其中f （x ）在闭区间[0, 1]上是正的连续函数.

.

【答案】由于f （x ）在[0, 1]上是正的连续函数, 故存在正数m , 使得

,

时在[0, 1] ×[c, d]上连续, 所以当. 时, 函数

3．

设

级数

收敛，

是f （x ）在区间

而

上的正弦级数，求

【答案】对任意的m 、n>0,

由于法知

收敛，故由魏尔斯特拉斯判别

一致收敛，所以由一致收敛函数列的性质知

4． 等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比, 试由此给出变速旋转的角速度的定义.

【答案】设旋转角与时间的函数关系为而时刻t 的角速度定义为 5． 设

【答案】因为

, 试求极限

, 所以

6． 设f （x , y）在

【答案】由己知f （x , y ）在

上连续, 且恒取正值, 试求

上存在最小值m 与最大值M , 使

且

则原式=

又因

.

, 则时刻t 到

内的平均角速度为

7． 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大?

【答案】设一段长为x , 则另一段长为1－x , 矩形的面积为由

得

, 又因为

, 故

矩形面积最大.

于是,

,

是f （x ）的极大值点. 因此当两段长度均为时,

二、证明题

8． 设x=x（y , z ）, y=y（z , x ）, z=z（x , y ）为由方程F （x , y , z ） =0所确定的隐函数. 证明:

.

【答案】由隐函数定理知

所以得

9． 用定义证明:

【答案】先写出当

具体到本题, 由于

所以

, 取

, 当

. 和

时, 有

即

10．设f , g 在点x 0连续, 证明:

（1）若（2）若在某【答案】（1）令

, 则存在内有

, 使在其内有, 则, 则

, ,

, 在

内

和极限

和

时, 有

的精确数学定义.

,

由f , g在点x 0连续可知, F （x ）在x 0也连续. 根据连续函数的局部保号性, 对任何正数存在某于是, 当保不等式性可得

, 使得对一切时,

有.

（2）因为f , g 在点x 0连续, 所以