2018年长春师范大学数学学院861数学分析[专业硕士]考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 给定曲面
（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:
（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因
及
与
不能同时为零, 得出
化简得
把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得
化简得
当
由函连续可微性, 知
2． 证明:
（1）（2）
时, 即可看出
成立.
对x=a或y=b时也成立.
.
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【答案】（1
）.
因为
所以
在[0, 1]上连续并且有界,
设界为M. 若记
则
注意到
攸敛, 利用优级数判别法可知,
在[0, 1]上一致收敛.
由逐项积分定理
, 有
（2） （2）的证明包含在（
1）的证明之中. 3．
设
在
上二次连续可微
, 且
, 证明:
其中
【答案】由Taylor. 展开式知
取代入①得到
对②积分得到
①
②
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从而有
4． 设
为
内的有界函数. 证明:
【答案】因为
在
内有界, 则存在
使得
. 对任意
利
在
内一致连续当且仅当
其中
用拉格朗日中值定理, 得
其中介于
和
之间, 显然有
于是有
由此可知
连续当且仅当,
在
内一致连续当且仅当
结论得证.
在
内一致连续
,
在
内一致
二、解答题
5． 求
【答案】由
在又由积分
由可微性定理, 有
即
解此常微分方程可得
（已知
,
上收敛.
及在
）.
及
的收敛性知,
的收敛性知, 上一致收敛.