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一、证明题

1． 证明:曲面

可微, 常数a , b , c 不同时为零.

【答案】记

则

于是曲面

n 与某直线方向向量或

于是当l 1, l 2, l 3 满足

2． 证明:闭域必是闭集, 举例说明反之不真.

【答案】（1）设D 为闭域, 则有开域G 使

其中

c

上任意一点的切平面都与某一定直线平行, 其中函数F 连续

上任一点的法向量为

垂直当且仅当

即

取1=（b , c , a ）,

时恒有

则曲面 F （ax —bz , ay—cz ）=0 上任一点的切平面与l 平行.

为G 的边界, 设

2

①

由

知:对任意, 使

②

这与以上结论矛盾.

其

,

则且

中G 为G 的余集即关于R 的补集. 由于

下证

若不然, 则存在

由于

从而

因此②真, 由①知

于是当

从而存在

充分小时, •

中含有G 的点Q , 于是

故P 0不是D 的聚点, 这就证明了:若P 0为D 的聚点, 则（2）例如

3． 设f 在[a, b]上连续, 证明:存在一点<

, 使得

或

, 因此D 为闭集.

是闭集, 但不是闭域. , 另有一组正数

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满足..

【答案】由连续函数的最大、最小值定理知, f （x ）在[a, b]上有最小值和最大值. 设其最小值为m , 最大值为M. 于是

. 由

和

得

由介值性定理知, 存在

4． 设f 在x=0连续, 且对任何

（1）f 在R 上连续； （2）

【答案】（1）由由f 在x=0连续可得

.

可知f （0+0） =2f（0）, 于是f （0） =0. , 并且对一切

故f 在R 上连续. （2）对整数p , q （

）有

所以

于是对任何有理数r 有

. 对任何无理数, 存在有理数列

,

.

证明:

【答案】对任意的于是

对于任意正数, 存在于是, 即

并且

存在. 因此

使得

故

使得

是A+B的一个上界.

则设

, 使

. 由f 在R

. 故对任何上连续, 有

5． 设A 、B 皆为非空有界数集, 定义数集

, 使得

有

. 证明:

二、解答题

6． 讨论下列函数列在所定义区间上的一致收敛性及极限函数的连续性、可微性和可积性:

（1）（2）

【答案】 （1）

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因所以由

（

2）（1）

时,

故设从而

（ii ）当故所以

由

上可积.

7．

设函数

【答案】

8． 作函数导法, 得

由

, 可知x=l为垂直渐近线. 又因为

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, 故

的极限函数f

（x ） =0可知f （x ）在[﹣1, 1]上连续, 可微且可积.

. 则f （x ）在在

上不连续, 又

上可积.

在

上连续,

上不可微,

上不一致收敛.

由f （

x ）不连续可得, f （X ）在时,

显然f （x ）在任意有限区间

f x ）可知（在上连续、可微, 在任意有限区间

, 求

的图形.

由定义可求出

; 当

时, 利用对数求

【答案】函数的定义域为