2016年郑州轻工业学院经济与管理学院数学基础(高等数学,线形代数,概率论)之高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 设函数
为了使函数f （x ）在x=1处连续且可导，a 、b 应取什么值? 【答案】要使函数f （x ）在x=l处连续，应有要函数f （x ）在x=1处可导，应有
。而
故a=2，b=-1 2． 设
向导数，并分别确定角
【答案】
因为（1）当（2）当（3）当
，所以：
时，方向导数最大，其最大值为时，方向导数最小，其最小值为或
时，方向导数为0。
； ；
，求函数
在点（1，1）沿方向l 的方
，即1=a+b。
，使这导数有（1）最大值；（2）最小值；（3）等于0.
3． 设有一等腰直角三角形薄片，腰长为a ，各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求这薄片的质心.
【答案】如图所示，按题设，面密度
. 由对称性知
。
图
因此，所求质心为
4． 讨论函数
【答案】因为
故f （x ）在x=0处连续。
不存在，故f （x ）在x=0处不可导。
5． a=3i-j-2k，b=i＋2j-k ，求
⑴a ·b 及a ×b ； ⑵（﹣2a ）·3b 及a ×2b ； ⑶a ，b 的夹角的余弦.
。
，在x=0处的连续性和可导性。
【答案】 ⑴a ·b=（3，﹣1，﹣2）（1, 2，﹣1） ·=3×1＋（﹣1）×2＋（﹣2）×（﹣1）
=3
⑵（﹣2a ）·3b=﹣6（a ·b ）=﹣6×3=﹣18 a ×2b=2（a ×b ）=2（5, 1, 7）=（10, 2, 14） ⑶
6． 设曲线L 的方程为
（1）求L 的弧长.
（2）设D 是由曲线L ，直线x=1，x=e及x 轴所围平面图形，求D 的形心的横坐标. 【答案】（1）
，代入弧长的公式，得
所以L 的弧长
（2）根据形心公式有
二、证明题
7． 设在半平面x>0内有力
构成力场，其中k 为常数，
证明：在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。 【答案】半平面x>0是单连通区域，在此区域内，数，且
故在此区域内，场力F 沿曲线L 所作的功，即
具有一阶连续偏导