2016年伊犁师范学院教育学院数学基础之高等数学复试笔试最后押题五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 在摆线
，
上求分摆线第一拱成1:3的点的坐标。
【答案】对应于摆线第一拱的参数t 的范围为[0, 2π]，参数t 在范围[0，t 0]时摆线的长度为
当t 0=2π时，长度为8a ，故所求点对应的参数t 0满足到点的坐标为
2． （1）对
（2）设数列（3）求
，证明不等式满足。
则由
，且
证明
收敛；
。
，解得
，从而得
【答案】（1）令
即
（2）已知
，则由
即
有界，又由①式与②式有
即由
单调。 单调有界
收敛。 ，
因
时
由
令，因此，
，
取极限得。
（3
）记
，又由①式，若
3． 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置.
A （3, 4, 0），B （0，4，3），C （3, 0, 0），D （0，﹣1, 0）
【答案】在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零. 比如xOy 面上的点的坐标为（为（0，
，
）.
，0，0），y 轴上的点的坐标为（0，
，0），z 轴上点的坐标为（0，0，
）.
，
，0），xOz 面上的点的坐标为（
，0，
，yOz 面上的点的坐标）
在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x 轴上的点的坐标为 （
A 点在xOy 面上，B 点在yOz 面上，C 点在x 轴上，D 点在y 轴上.
4． 计算下列反三角函数值的近似值:
【答案】（1）由及取
得
（2）由及取
得
5． 求平面
【答案】设交线上的点为在约束条件
和和柱面
，它到
的交线上与
平面距离最短的点。
。问题就成为求函数
面上距离的平方为
下的最小值问题。作拉格朗日函数
令
又由约束条件，有
解次方程组，
得
可知，距离最短的点必定存在，因此
6． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
所以积分
与路径无关，
是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
。于是，
得可能的极值点就是所求的点。
。由问题本身
且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
=y+1，所以
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