2017年河南大学数学与统计学院823专业基础课(高等代数)考研仿真模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设 可逆，由于 的伴随矩阵为（ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则分块矩 且 第 2 页，共 43 页 ， 所以 3． 设 是非齐次线性方程组 的两个不同解， 是 的基础解系， 为任意常数， 则Ax=b的通解为（ ）• 【答案】B 【解析】因为中 不一定线性无关. 而 由于故 4． 设 又 则（ ）• 【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得 即 5． 设 是3维向量空 间的过渡矩阵为（ ） . 的一组基, 则由 基 到 基 由②有 是 因此 线性无关，且都是 知 的解. 是 的特解，因此选B. 所以 因此 不是 的特解，从而否定A , C.但D 的基础解系. 又由 为空间的两组基，且 第 3 页，共 43 页 【答案】（A ） 二、分析计算题 6． 证明： 其中 是1的立方根 【答案】 由于 将①式两边消去该行列式，即证. 7． 设T 是酉空间V 的一个线性变换，证明：下面四个命题互相等价. （1）T 是酉变换； （2）T 是同构映射； （3）如果【答案】取令 是标准正交基，那么设T 是酉变换，即 为V 的一组标准正交基，且 为A 的列向量，由①有 第 4 页，共 43 页 也是标准正交基； （4）T 在任一组标准正交基下的矩阵为酉矩阵
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