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一、选择题

1． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

2． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C.

3． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似

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为空间的两组基，且

由②有

使AB=0, 则（ ）

.

由AB=0, 用右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

时，

则A 与B （ ）.

C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B.

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

4． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 5． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

所以A 的特征值为3，3，0；而

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

则A 与B （ ）.

二、分析计算题

6． 设A 为数域F 上的

【答案】因为

矩阵，其秩为r , 试求满足下式的所有矩阵X （给出公式）：所以存在m 阶可逆矩阵P ，n 阶可逆矩阵Q , 使

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首先，如即

则有

令

则式（1）等价于所以

其次，由式（2）, 直接验证可知

所以，满足

7． 设A 为

的所有解为

这里B 为r 阶方阵.

则

实矩阵，则存在n 阶正交阵Q 和m 阶正交阵P , 使得

其中

且秩

【答案】因为AA' 乒正定，从而存在正交阵P , 使

由于令

不失一般性，可设

由②得

将P 分块. 令

则

由于P 为正交阵，因此

令又因为

. 则

用6左乘，实矩阵，且

所以

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_右乘④式两端得