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一、选择题

1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

则线性方程组（ ）•

【答案】D 【解析】

2． 二次型

是（ ）二次型.

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

是不定二次型，故选B. 方法2 设二次型矩阵A ，则

由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式

从而否定D ，故选B. 3． 设均为n 维列向量，A 是

矩阵，下列选项正确的是（ A. 若线性相关，则线性相关. B. 若线性相关，则线性无关. C. 若线性无关，则线性相关. D. 若

线性无关，则

线性无关.

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. ）

【答案】A 【解析】因为当否则有

由上述知

线性相关，所以

于是

因此线性相关，故选A.

4． 齐次线性方程组

的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵

【答案】C 【解析】若当C. 5．

设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1 用排除法令

则

这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2

为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于-1

则当（ ）时，此时二次型为正定二

时，

由AB=0, 用

右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.

由AB=0，左乘

可得

矛盾，从而否定A ，故选

使AB=0, 则（ ）

.

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

则

线性无关，

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所以当方法3 设

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）.

所以f 为正定的.

二、分析计算题

6． 求多项式

【答案】记则于是

有重根的条件是

如果

7． 设n 阶方阵A 在复数域内的特征根是

证明：A 的伴随矩阵

的特征根为

那么

的条件是

因此，f （x ）有重根的条件为

如果

那么

由此得

的条件是

有重根的条件.

能整除

【答案】设J 是A 的若尔当标准形，故存在可逆方阵P 使

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