2017年河北师范大学数学与信息科学学院908数学分析与高等代数综合之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】
3． 设行列式
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
5． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
二、分析计算题
6． 设则称
是V 上对称的或反对称的双线性函数. 正交. 再设K 是V 的一个真子空间，证明：对
对所有足题目要求.
（2）当f 限制到K 上是非退化的，而f 在V 上是对称的. 于是f 限制在K 上是对称的，非退化的双线性函数. 由定理5，存在K 的一组基
使f 在此基下的度量矩阵为对角阵
都成立.
与一切
正交，显然
满
【答案】（1）当f 限制到K 上是退化的，这时有
是V 中两个向量，如果必有
使
又由f 在K 上非退化知
皆不为零. 这时有
再设令
则任意
都有
（3）当f 限制在K 上是非退化的，且f 是反对称的、由定理6，K
中存在一组基
使得
设
令
则对任何
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