2017年中国海洋大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
进一步由
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为
则
与的联合分布为
所以，
得
即成功概率p 的后验分布为分布族.
3． 证：事件A 与B 独立的充要条件是
【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由
，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ）
故成功概率p 的共轭先验分布族为贝塔
独立，由此得
即
4． 设是来自两参数指数分布
的样本, 证明（）是充分统计量.
【答案】由已知, 样本联合密度函数为
令
5． 若
【答案】因为
证明
：
, 由因子分解定理,
所以得P （AB ）=P（B ）. 由此得
结论得证.
6． 设事件A ，B ，C 的概率都是1/2，且P （ABC ）=+P（AC ）+P（BC ）-1/2.
【答案】因为
上式移项即得结论.
7． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
证明：2P （ABC ）=P（AB ）是
的充分统计量•
8． （格涅坚科大数定律）设是随机变量序列, 若记
则服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对注意到t>0时. 是增函数, 故当
时, 有
因此有
所以当再证必要性. 设有
因为函数
时, 有
服从大数定律, 即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N , 当, 得
由于的任意性, 所以
时,
二、计算题
9． 测得两批电子器件的样品的电阻（单位：）为
表
设这两批器材的电阻值分别服从分布（1）试检验两个总体的方差是否相等（取（2）试检验两个总体的均值是否相等（取
； ））.
，且两样本独立.
【答案】（1）对于检验两总体方差是否一致，应使用F 检验，此处，由样本数据计算可得到
若
取
或
则
而
，
其拒绝域
为
由于F 值没有落入拒绝域内，可以认为两个总体的方差相等.
（2）因为在（1）中已经接受了两总体方差一致这一事实，从而在检验均值情况时，可以用