2017年中国矿业大学(徐州)理学院835概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
2． 设随机变量
所以
相互独立, 且
试证:
【答案】而事件
从而该事件的概率为
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证明:
故有
即X 与Z 不独立.
的联合密度为
3． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
证明：
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
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比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证. 4． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
故T 是
的无偏估计量。（II ）当
5． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
6． 如果
【答案】对任意的
试证:首先考虑
的分布函数
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时，