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一、证明题

1． 设计.

【答案】由于

这就证明了

，是的相合估计.

独立同分布，

，证明：

是的相合估

2． [1]设随机变量X 仅在区间[a，b]上取值，试证：

[2]设随机变量X 取

值

【答案】[1]仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，因为

同理可证，

由上题的结论知

[2]仿题[1]有

3． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

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的概率分别

是证明

：

时, 有

所以当再证必要性. 设有

因为函数

时, 有

服从大数定律, 即

是增函数及

故则任对

服从大数定律.

存在N , 当, 得

由于的任意性, 所以

4． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

（2）当所以

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由

不能推得X 与Y 独立.

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时,

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

这正是参数为数为

时有

服从参

, ,

得:

即

的特征函数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布.

方差为

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

5． 设从均值为

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&

的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

6． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

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）的均值

中方差最小的.

在

当

再令

上一致收

时,

有

,

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由（2）式知,