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一、证明题

1． 设级数

收敛，证明

【答案】因为

收敛，即

在在

且

故

单调且一致有界，又级数在

上一致收敛，

又

上一致收敛，所以由阿贝尔判别法知，上连续，故

上也连续，即

2． 设

【答案】因为由利用

判别法可判断，引理，由汙

则

令

3． 若

推得进而

收敛吗？ 【答案】由

收敛. 若仅知道

收敛，未必有

收敛. 如

则

收敛，但

发散.

可得

又因为级数

绝对收敛，故级数

丨收敛，

取极限得

且级数

结论得证. 绝对收敛，证明级数

也收敛. 若上述条件中只知道

收敛，能

证明：当

时，有

收敛，且有界，：收敛.

单调递减且

由题设条件知

收敛，即得

二、解答题

4． 举例说明：瑕积分

【答案】例如瑕积负

收敛时

不一定收敛。

故瑕积分

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收敛，但

故瑕积分

5． 计算曲面积分

S 是闭曲面

【答案】由高斯公式，可得

其中

是由闭曲面S 所围的空间区域.

则

区域力变成

由对称性，有

6． 设周期为

与函数

的可积函勤

的傅里叶系数

有

7． 设

（1）

（2）

（3）

使得使得使得

则

（2）令

则

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发散

方向取外侧.

作变换：

与

满足关系式

之间的关系.

则给出函数

的傅里叶系数

【答案】作变量替换

试作数列：

于是

于是

【答案】⑴令

（3）令

8． 设定义在

则于是

上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义上的函数：

试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）

（2

）

【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当

内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.

对一切

总有M （x ）=1.即

（2）同理可得

（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示

.

时，m （x ）

图1 图2

9． 求一正数a , 使它与其倒数之和最小。

【答案】令

所以

是

则的极小值. 因此

由

得

舍去-1得

故

时，它与其倒数之和最小。

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