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一、证明题

1． 证明：若函数某个小区域

当

上无界.

令

由于f 在从而

另一方面，由f 在D 上可积知：存在任一积分和

都满足

这与①式矛盾，因此f 在D 上有界.

2． 设f 为区间上的单调函数. 证明：若

【答案】设f (x ) 为上的单调递增函数得f (x ) 在调有界原理知

内递增且以

与

为上界，

为的间断点，则必是的第一类间断点. 若不是的端点，则存在的某邻域

内递增且以

使

为下界，由函数极限的单

*对任一 D 的分割

时，T 的

上无界，从而存在

使得

在有界闭区域D 上可积，则

在D 上有界.

，必在

【答案】假设f 在D 上可积，但在D 上无界，那么，对D 的任一分割

时，任取

都存在.

故若为f 的间断点，则必是f 的第一类间断点. 当为的

左(右) 端点时，f (x ) 在的右(左) 极限存在，故若为间断点，则必为第一类间断点.

3． 证明抛物线在顶点处的曲率为最大。

【答案】

显然当由

时，得

即抛物线

是单调递减的. 故当

时，取最大值。

在顶点处的曲率为最大。

二、解答题

4． 计算下列瑕积分的值（其中n 为正整数）：

【答案】（1）当当

时，设

时，有

从而有

（2）令

则有

于是

因此有

5． 求

在球面

而时，函数

上的极大值；并证明当a , b , c 为正实数时，有

【答案】构造拉格朗日函数

令

解出驻点为

下面来判断这个驻点为极大值点. 由

可得L 在驻点处的海森矩阵

所以有

显然，I 负定，故驻点为极大值点，而且极大值为

故f 的最大值只能在内部取到，而内

因为f 在球面位于第一卦限的部分上连续，所以f 必在其上取到最大值. 注意

到当动点趋向于边界线(其上x ，y ，z 之一为0) 时，即

当

且满足

时，有

部有唯一的极大值点，因此这个极大值点也必是最大值点，且最大值为

取

，上式变为：

两边平方，即得

6． 求下列各函数的函数值：

【答案】⑴

(2)

(3)

7． 应用换元积分法求下列不定积分：