2017年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）
，
由
对上式右端积分作变量变换y=c-t，则
再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则
结论得证.
对称分布函数的这个性质可用图表示：
【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知
图
2． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
, 试证:随机
【答案】
记
则
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
3． 设随机变量X 与V 相互独立, 且证:
相互独立, 且
【答案】因为X 与Y 的密度函数分别为
下求（U , V ）的联合密度函数, 因为可比行列式为
所以, 当
时, 有
可
见 4 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
, 由此得
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
试
,
这与前面推出的
的反函数为, 且变换的雅
可分离变量, 故
的容量为
U 与V 相互独立, 其
中
的样本中位数是证明
的密度函数关于
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
于是y 的密度函数为
其中
可得
这表明密度函数与E
5． 设
是取自二维正态分布
的一个二维样本, 记
是偶函数, 从而
g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
试求统计量【答案】容易看出
的分布.
仍服从正态分布. 且
所以另外,
类似于一维正态变量场合, 可证与相互独立。且
于是根据t 变量的构造可知
这就是我们要求的分布.