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一、证明题

1． 设

相互独立, 服从

证明:

【答案】令

, 则

再令

, 则

令

相互独立, 且

服从

所以变换的雅可比行列式为:

计算该行列式, 可得

因为,

把雅可比行列式代入上式可得

由此可知

相互独立, 且服从

2． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

对一切的存在，

这就证明了 3． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量.

证明:X 与不相关. 为证明X

4． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

所以

这表明:X 与

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

现考查如下特定事件的概率

所以X 与

5． 证明：

（1）（2）

不独立.

移项即得结论.

【答案】（1）由

6． 设

（2）对n 用数学归纳法，当n=2时，由（1）知结论成立. 设n-1时结论成立，即

则由（1）知

独立同分布，其共同的密度函数为

（1）证明：（2）计算

和

的均方误差并进行比较；

的估计中，故

最优.

这说明是则Y 的密

都是θ的无偏估计；

（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为

于是有

这表明

也是θ的无偏估计.

（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于

故有

又