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一、证明题

1． 证明:若

则对

有

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时,

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

证明:

否则均值不存在）, 当r=2

2． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全

概率公式

考虑到而

所以

有由此得

故有

即X 与Z 不独立.

由

对一切的

存在，

3． 试证：对任意的常数

【答案】于

所以

4． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

5． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）

证明：

（5）（6）（2）因为

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

再利用（1）的结果即可得证.