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一、证明题

1． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立, 则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布

2． 设随机变量

（1）（2）

【答案】（1）设所以当即

时,

的密度函数为

即（2）因为以

由此得

所以（X , Y ）的联合密度函数为

这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.

3． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

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, 且X

的特征函数, 由唯一性定理知

相互独立, 且都服从（0, 1）上的均匀分布, 试证明:

和

则

的密度函数为

则

所以

当

是相互独立的标准正态随机变量.

与

时,

, 所以

又因为

所

所以A-B 与C 独立.

4． 设总体X 的密度函数为：

为抽自此总体的简单随机样本.

（1）证明：【答案】（1）令

即

的分布与无关，并求出此分布.

的置信区间.

则

的分布与无关，其密度函数为

由于从而求得

在

上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为

的置信区间为

（2）取c , d 使得

的密度函数为

（2）求的置信水平为

5． 设二维随机变量（X , Y ）服从单位圆内的均匀分布, 其联合密度函数为

试证:X 与Y 不独立且X 与Y 不相关 【答案】先求边际密度函数

所以由又因为

和

知X 与Y 不独立.

在对称区间上是偶函数, 故

从而

所以X 与Y 不相关.

6． 设连续随机变量X 的密度函数为p （X ）, 试证:p （x ）关于原点对称的充要条件是它的特征函数是实的偶函数.

【答案】记X 的特征函数为为

这表明X 与-X 有相同的特征函数,

从而X 与-X 有相同的密度函数, 而-X 的密度函数为关于原点是对称的.

再证必要性, 若

, 则X 与-X 有相同的密度函数, 所以X 与-X 有相同的特征函数,

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先证充分性. 若是实的偶函数, 则又因

所以得, 即

由于-X 的特征函数为

7． 证明:若则对

所以有

故是实的偶函数.

并由此写出

与

其

中

【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示

为

且u 与v 独立, 从而有

由于

将两者代回可知, 在

时, 若r 为奇数, 则

若r 为偶数, 则

证明完成. 进一步, 当r=l时

, 时, 8． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

9． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

【答案】对任意的即

结论得证.

为充分统计量.

（此时要求

（此时要

求否则方差不存在）.

否则均值不存在）, 当r=2

中抽取的简单样本,

试证

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