2017年中国矿业大学(徐州)理学院835概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设变量序列
为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.
则
由此得
倘若
服从大数定律, 则对任意的
有
于是, 当n 充分大时, 有
记
则
由的任意性,
不妨取
咱矛盾, 所以
2． 设
则当n 充分大时,
有不服从大数定律.
,
这与前面推出的
, 由此得
, 试证:随机
【答案】
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到
由此可见
是
的无偏估计.
当
较大时，
拒绝原假设
是合理的.
故对
的拒绝域为
其中c 由概率等式可以证明，
当
在原假设由等式
成立下，有
可得
记
是分布的
分位数，可得
譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由
可知
时，
所以 c=21.887.
时，将拒绝原假设
从而有
在原假设
成立下，有
这
里
可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理
知
, 从而有
故由等式
可得
记
即
确定. 为了确定c , 需要充分统计量
时
，
由此可
得
的分布.
或
者
利用分布的分位数可确定临界值c.
认为
为标准正态分布的分位数，则有
若n=15,
3． 设
查表得
从而
是来自二点分布b （1, p ）的一个样本，
（1）寻求的无偏估计； （2）寻求p （1-p ）的无偏估计； （3）证明1/p的无偏估计不存在. 【答案】（1）是
的一个直观估计，但不是的无偏估计，这是因为
由此可见（2）
是的无偏估计.
是p （1-P ）的直观估计，但不是p （1-P ）的无偏估计，这是因为
由此可见
（3）反证法，倘若
是p （1-p ）的一个无偏估计.
是1/p的无偏估计，则有
或者
上式是p 的n+1次方程，它最多有n+1个实根，而p 可在（0, 1）取无穷多个值，所以不论取什么形式都不能使上述方程在0＜p ＜l 上成立，这表明1/p的无偏估计不存在.
4． 设分布函数列弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:在敛于分布函数F （x ）.
【答案】
对任意的点
:
则有
（1）
这时存在N , 使得当n>N时, 有
对任意的当
时, 有
由（1）, （3）式可得
上一致收当
时,
有
,
取M 充分大,
使有当
使有
时,
有
再令
对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分
必存在某个i , 使得由（2）式知,