2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 设
是有界闭集, f :
, 如果
, 都满足. 因为
, 使
这与
的最小性相矛盾, 故
即
. 若有另外一个
使
则
,
则A 中有且仅有一点x , 使得f （x ）=x. 【答案】
令
由此不等式知g （x ）为有界闭集A 上的连续函数,
因此存在
, 则由条件有
如果
矛盾, 故不动点惟一.
2． 求下列函数的偏导数:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【答案】 （1）（2）（3）
（4）（5）（6）（7）
在点（0, 1, 1）的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？
, 则
（8）（9）（IO
）
3． 方程
【答案】令②F （0, 1, 1）=0;
③④
4． 设f （x ）在
【答案】由条件得
①F （x , y , z ）在点（0, 1, 1）的某邻域内连续；
均在上述邻域内连续；
故由定理知, 在点（0, 1, 1）的某邻域内原方程能确定出函数x=f（y , z ）和y=g（x , z ）.
上连续, 且满足条件
. 求证:f （x ）为一常数.
即
5． 为了使曲线积分
与积分路线无关, 可微函数F （x , y ）应满足怎样的条件?
6． 求
【答案】由于
所以
.
【答案】这里P=yF （x , y ）, Q=xF （x , y）则该积分与路线无关
.
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由原函数的连续性, 若记, 则. 故
7． 设
（1）证明:x=0是极小值点;
（2）说明f 在极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 【答案】（1
）当（2）因为由导数的定义得
取
则
于是对任意的
, 总存在
, 使得
, 所以f （x ）在极小值点x=0
故f （x ）在极小值点x=0处也不满足第二充分条件.
8． 设
⑴求（2）计算
;
.
为奇点. 记
时
, , 而
, 故x=0是
f （x ）的极小值点
时
,
, 所以f （x ）在x=0连续. 当
处不满足第一充分条件. 又因
【答案】（1） x=1和
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