2018年江苏师范大学数学与统计学院647数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f 为
试证明:当
取最小值, 且最小值为
上述
是三角多项式,
为它的傅里叶系数.
其中
所以
由上式可得,
当且仅当且最小值为
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上可积函数. 为f 的傅里叶系数, 1时, 积分
【答案】依题意
时积分取最小值,
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2． 证明反常积分
【答案】因为
是收敛的.
所以只需证明记
收敛即可.
则对任意
在
上单调递减, 并且
收敛, 故
收敛.
由狄利克雷判别法可知
3． 设函数f 在点a 的某个邻域上具有二阶导数. 证明:对充分小的h ,
存在
,
【答案】设f 在不妨设
, 令
, 使得
再令故有从而
令
, 则有
, 且
4．
证明:定义在
上的函数项级数
满足定理条件,
且
在
[a, b]上一致收敛, 并且每一项收敛（0 内具有二阶导数. , 则F （x ）与G （x ）在 使得 上满足柯 西中值定理的条件, 故存在 上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是 都连续, 这里一致收敛, 且 【 答案】定理的条件 要求 由于在 •而正项级数连续, 且由定理有: 第 3 页，共 31 页 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 5． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且 （ 1）（2）又若【答案】由 , , 则又有 . （*） （1）在（*）式中令 在[a, b]上两边对 x 求定积分 , 得 故有 （2 ）（*）式两边在[a , b]上对t 定积分, 得 从而对任意的 , 有 由即 , 可得 . 故有 , 得 知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有 , 证明: 二、解答题 6． 求常数, 使曲线积分线L 成立. 【答案】令 由题知所考虑的积分在上半平面内与路径无关, 所以 第 4 页，共 31 页 （其中）对上半平面内任何光滑闭曲 , 即
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