2018年华北电力大学(保定)数理系617数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
f
:
, 且存在正实数
与
利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为
, 有
所以
, 即f
:
, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.
2． 证明:若f 与g 都在[a, b]上可积, 且g （x ）在[a, b]上不变号, M 、m 分别为f （x ）在[a, b]上的上、
下确界, 则必存在某实数【答案】
设
,
, 由定积分的不等式性质, 得
若
, 则由上式知
, 从而对任何实数
若令
, 则得
, 则
,
且
.
均有
,
,
使得
.
因
,
, 所以
有
, 对一切
, . 满足
二、解答题
3． 求
【答案】由于
所以
.
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由原函数的连续性, 若记, 则. 故
4． 设周期为
⑴（2
）
试问（1）【答案】
的可积函数
与满足以下关系式
:
的傅里叶系数a n , b n 与
的傅里叶系数
有什么关系？
（2）
5．
设
试分别讨论i=1, 2时极限【答案】（1）当i=1时,
是否存在, 为什么？ 且
可得
（2）当i=2时,
不存在. 因为, 若取
从而
则时但
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是时
不存在.
又对有但是故此
6． 判别下列反常积分的敛散性, 若收敛, 指出是绝对收敛？还是条件收敛？
（1）（2）（
3）（4）（5）
【答案】
（1）
易知, 当
p>1时绝对收敛; 当又因为
而
所以当综上所述,
当p>1时绝对收敛, 当
（2）
其中x=0为
的瑕点, 因为
与
同阶
, 所以
收敛, 因, 因为X>1时有
, 所以
, 由泰勒公式得
所以
其中
时条件收敛.
时绝对收敛; 当时发散
.
时条件收敛,
当时发散.
为绝对收敛.
对积分
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