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一、证明题

1． 证明:

当

时一致收敛.

对

而

关于x 单调递减, 且

所以当

时,

一致收敛于0.

有

【答案】方法一

由狄利克雷判别法知

当方法二对

时一致收敛

作变换

即

, 则

由狄利克雷判别法知该积分收敛,

从而对递减且一致有界, 即

由阿贝尔判别法知, 当

2． 设正项级数

【答案】令

收敛，证明：级数

则

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该积分一致收敛, 又关于x 单调

时一致收敛.

仍收敛，其中

对上式两边取极限得

3． 证明:若f

在[a, b]上连续, 且

, 又若

【答案】假设对任意的

, 使与

均有

所以级数收敛到 , 使

, 则在（a , b ）上至少存在两点

, 这时f 在（a , b ）上是否至少有三个零点？

f x ）, 则由连续函数根的存在定理知

, （在（a , b ）或

, 这与

矛盾.

故至

内恒正或恒负. 于是, 根据积分不等式性质有少存在一点

且f （x ）在

假设f （

x ）在（a , b

）内只有一个零点则

每个区间内不变号（根据连续函数根的存在定理）. 故有

在两边也异号. 所以

在两边同号,

但

由此知f （x ）在两边异号. 又函数

即g

（x ）在（a , b ）内除一个零点外恒正或恒负, 从而由g （x ）的连续性可得

矛盾. 故在（a , b ）内至少存在两点, 在（a

, b ）内至少存在三个零点

假设在（a , b ）内只两点

,

, 使得

, 则

即

,

且f （

x ）在

, 使得

下证若

则f （x ）

每个区间内不变号. 从而由

推广的积分第一中值定理

, 结合上式, 得

即

, 其中

, 所以由上式知,

f x ）从而知（在在

. 考虑函数内符号分别为正、负、正（其他情况证明类似）

内的符号分别为正、负、正, 故

h （

x ）在

但

矛盾. 可见在（a , b ）内至少有三个点

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. 因为 与由于

每个区间内恒异号,

f x ）f x ）两边异号, 同理可证（在两边也异号

, 设（在区间

正. 又h （x ）是连续函数

, 所以

使得

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4．

证明不等式

.

【答案】由于在恒大于0,

令显然在上连续.

证原不等式可转化为证由于

令则

所以从而

所以

即

在

上单调递增, 所以

即.

5． 设f 为定义在

因为f 在

对任意的可得, 对任意的

即

若

, 故

存在, 设为A , 对

上的增函数. 证明:

上的增函数

上有上确界. 设使得

当

第

4

页，

共 29 页

单调递增, 故

从而

存在的充要条件是f 在

上有上界.

则

由f 是增函数

【答案】设f 为定义在

上有上界, 由确界原理可知f 在且对任给的有

存在

时.