2017年中山大学数学与计算科学学院663数学分析考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理。
【答案】一致连续性定理：若函数f 在闭区间上连续，所以任绐.
取
. 任意
存在则H 是
上连续，则在
有
不妨设
因此
由一致连续定义，
在
上一致连续。
即
当
上一致连续. 因为在
对任意
的无限开覆盖. 由有限覆盖定理，从中可以选出有限个
开区间来覆盖不妨设选出的这有限个开区间为
取
时，由于
对任意
二、解答题
2． 设
【答案】方法一作变量代换
则
方法二因为
所以
3． 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：
⑴（3）
【答案】（1）
上确界. 显然有是集合S 的一个上界. 对任意的
则
即（2）
，则
（3）
设a 不妨设a>0.由无理数的稠密性可知， 存在无理数是S 的上确界. （4） 的上确界为1，下确界为因为S 中的最小元素为 所以是 存 于是 并且 因此，1 为月 因此 ， 是S 的上确界. 的上、下确界分别为 故S 无上界，即S 的上确界为 和1.1是S 的一个下界，并且 为 （2） 内的无理数 （4） S 的上、下确界分别为不妨设 取 和 这里只证明 是 任何大于1的数都不是S 的下界，所以1是S 的最大下界，即1是S 的下确界. 对任意的M>0, 取 内的无理数）的上、下确界分别为1和0. 这里只证明1是S 的上确界. S 的最大下界，即是S 的下确界. 由于在 4． 设 使得在 于是取上连续，求证： 所以1是S 的一个上界，对任意的 且满足不等式 . 因此，1是S 的上确界. 【答案】分两种情况讨论. （1）如果 在 上不变号，则 即要证的不等式成立. （2）如果又因为故有 在在 上变号，则存在上连续，存在 使得 （用微积分基本定理） 使得 即要证的不等式成立. 5． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式： 到含的项； 到含的项. 【答案】 因此 带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为 故 于是 故有 于是 6． 设 【答案】
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