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一、证明题

1． 证明下列不等式：

【答案】(1)

所以有

(2)

所以有

2． 设函数项级数在D 上一致收敛于

【答案】不妨设存在对任意

在D 上一致收敛于

对任意

有

均有

因

在D 上一致收敛于

从而，对任意

所以

在D 上一致收敛于

则在

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函数在D 上有界，证明级数

故

存在N>0, 当n>N时，对任意

3． 设函数f 在点x=l处二阶可导. 证明：若

处有

【答案】由复合函数求导法则可得

由

得

故当X=1时

二、解答题

4．

设

是区

域

上的有界k 次齐次函

数

问极

限

是否存在? 若存在，试求其值

【答案】令

5． 已知数列

【答案】

（舍去）

6． 计算积分

【答案】设

的值，并证明它也等于数项级数，则

的和.

的极限存在，求此极限.

由于

是区域上的有界k 次齐次函数，

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为证明定理：设

先来证明一个定理： 在

内收敛，若

也收敛，则

事实上，

在

上收敛，从而内闭一致收敛，对于任何

即有幂级数收敛，和函数在

在上收敛，而处左连续，便有

回到题目，数项级数

收敛，设

7． 求下列各函数的定义域，画出定义域的图形，并说明这是何种点集：

【答案】(1) 函数的定义域为

是无界开点集，如图1.

由上述定理即知

上收敛，而

也收敛. 从而在

上一致

都有

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