当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明曲线积分的估计式：利用上述不等式估计积分

【答案】因为

这里又

为曲线AB 上任一点的切向量的方向余弦； 有

圆的参数方程为

而

从而

2． 证明：

(1) 无穷积分(2) 无穷积分

【答案】利用级数法. (1) 原积分：

发散； 收敛.

故由迫敛性知

于是

其中L 为AB 的弧长，并证明

并

而

当

时有

故

由

发散，可知

发散，从而原积分发散.

(2) 类似于(1) , 有原积分而

当

时利用不等式

有

故

由

收敛，可知

收敛. 同理可证

收敛，从而存在

收敛. 由此可知，原积分收敛. 上的可积函数g ，使得

在

上可积，

所以对任给的

3． 设函数在

证明在【答案】因为

上有定义，且对于任给的上可积。

又因为函数这里

表示函数

因此

存在相应的分割T , 使得

在相应小区间上的振幅. 所以

而故即在上可积。

4． 用确界原理证明有限覆盖定理。

【答案】构造集合H

覆盖闭区间

所以存在一个开区间

能被H 中有限个开区间覆盖. 明显，S 有上界. 又因为

使

取

由确界原理可知，存在

知，必存在

使

则

即

下面证明取

加上，

就得到

和

能被H 中的有限个开区间覆盖. 从而

即

用反证法. 若则由H 覆盖闭区间使

则

所以

能被H 中有限个开区间覆盖，把

也能被H 中有限个开区间所覆盖，所以

这与矛盾. 因此所以定理结论成立。

二、计算题

5． 设函数

【答案】因为

6． 计算下列引力：(1) 均匀薄片引力；(2) 均匀柱体

对于点

对于轴上一点

处的单位质量的

处的单位质量的引力；(3) 均匀密

求它在点

的梯度.

所以

度的正圆锥体(高h , 底半径R ) 对于在它的顶点处质量为m 的质点的引力.

【答案】(1) 设物体密度为U , 由对称性，引力必在Z 轴方向上因此

故

(2) 设物体密度为

则由对称性知

，

下求F ；

故

其中k 为引力系数.

(3) 设物体密度为p ，由对称性知

只需求

，设顶点坐标为

由柱坐标变换(正圆锥体V 在

面投影区域

则引力为

7． 设

其中k 为引力系数.

这里max 表示取最大值函数，求f （x ）的原函数.

当

时，有

【答案】f （x ）的原函数为