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一、证明题

1． 证明：

若

【答案】

由于

有

已知

因为

在点

故当左连续，所以

时有

即

从而

在

上连续，从而

在

上有界，B 卩

有

于是

在

上可导，

且

对

有

，

则

二、解答题

2． 求下列不定积分：

【答案】

3． 计算第二型曲线积分：

(1)(2)(3)(4)

其中L 为螺线其中L 为圆周，其中L 为其中L 为从

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沿t 增加方向的一段；

依逆时针方向；

与z 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；

的直线段.

【答案】(1)因

，从而

(2)由圆的参数方程(3)

则

(4)直线的参数方程是：

4． 把函数

在(0, 4) 上展开成余弦级数.

【答案】对f (x ) 作周期为8的偶延拓，得一连续偶函数，故在(0, 4) 上可将f (x ) 展为余弦级数

.

所以由收敛定理，在(0，4) 内

.

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5． 应用斯托克斯公式计算下列曲线积分：

其中L 为

所围平面区域上侧在曲线的左侧；

其中L 为

所交的椭圆的正向；

其中L 是以

点的三角形沿ABCA 的方向。

【答案】(1) 记L 为曲面

的边界，由斯托克斯公式知

且

同理

因此原积分=0。

(2) 记L 为该椭圆的边界，则

其中S 为所交椭圆面，

是S

在

面的投影。

6． 方程

【答案】令.

能否在原点的某邻域内确定隐函数

则有

在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

故由隐函数存在惟一性定理知，

方程

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与三坐标面的交线，它的走向使

为顶

在原点的某邻域内可确定隐函数胃