2017年中山大学数学与计算科学学院663数学分析考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设S 为非空数集，定义
⑴
【答案】(1) 设又有对于任意正数
界，即
(2) 同理可证.
存在
(2)
则任意
使得
证明：
则于是
，
即
故
是的一个下界.
故
是
的下确
二、解答题
2． 试给出函数f 的例子，使f （x ） >0恒成立，而在某一点处有保号性有矛盾吗？
【答案】令
在实数集R 上
恒成立. 但
可以确定函数
这与极限的局部保
号性不矛盾.
因为函数极限的局部保号性定理的题设要求 3． 设，和一组函数那么由方程试用
【答案】由
得
于是
4． (1) 计算积分
(2) 设
在闭正方形
上连续，且满足下列条件：
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这同极限的局部
证明存在
这里A 是(1) 中的积分值. 【答案】(1) 如图所示：
使得
图
所以
由积分中值定理知，存在
使
故
5． 设
应用链式法则计算
即
则
【答案】把看作以下三个变换的复合
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6． 求不定积分
【答案】令
则
7． 设定义在
上的函数，在任何闭区间[a, b]上有界. 定义
上的函数：
试讨论m （x ）与M （x ）的图像，其中 （1）
（2
）
【答案】（1）如果把x 看作时间，那么m （x ）表示从t=a到t=x期间f （x ）的下确界（有时是最小值）.M （x ）则表示从t=a到t=x期间f （x ）的上确界（有时是最大值）. 函数f （x ）=cosx在区间=cosx; 当
内单调递减到最小值一1，并且f （0）是它的最大值. 于是，当时，m （x ）=—1.
对一切
总有M （x ）=1.即
（2）同理可得
（1）与（2）的图像分别如图1和图2所示
.
时，m （x ）
图1 图2
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