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一、解答题

1． 设函数立等式

【答案】因为

同理所以由间以

2． 设

得

故使

的点是满足方程

的点，即空

为球心，1为半径的球面上的点都有

求

其中

. 求的梯度，并指出在空间哪些点上成

【答案】用泰勒公式，

两边积分可得

由此可得f （X ）的泰勒展开式

于是，有

若令

则上式可改写为

综上，有

其中I 为自然数.

3． 求下列函数的高阶微分：

【答案】（1）

（2）

4． 设函数

【答案】若

使

若若这与对 5． 设

【答案】

6． 求极限：

【答案】（1）因为X ，sinx ，cosx 都是R 上的连续函数，所以当的连续点. 于是

（2）该函数在x=l处为右连续，于是

-时，x 是

其中，

为可微函数，求

则当则当在区间

上二次可微，且有界. 证明：

. 使得

则

必变号. 若不然，

不妨设

咐，有

并令

时，有

有界性假设相矛盾.

可类似地证明.

使得

严格递增.

取

变号，由导数的介值性，

. 并令

下证：在题目的条件下

，