2017年辽宁大学数学分析;高等代数;常微分方程或近世代数任选其一之数学分析考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设
可微，1是上的一个确定向量，倘若处处有
则
又
2． 重排级数
【答案】注意到使得
存在
使得
如此下去，
存在
因
及
使得
这样得到一个重排的级数
及
. 均是发散的正项级数，从而存在使它成为发散级数.
使得
存在
所以
即
说明函数，在点P (x ，y ) 的梯度向量与1垂直.
试问此函数，有何特征？
【答案】设上确定向量1的方向余弦为
发散，可得此重排级数必发散.
3． 求下列各函数的函数值：
【答案】⑴
(2)
(3)
4． 计算近似值：
【答案】(1) 设
根据
，知
(2)
设
则
因而
5． 求下列函数的导数：
【答案】
6． 设f 为则有
【答案】先证f （x
）在
从而此时有.
设
时
，
则对任给的
故
存在则
由
由
f x ）于是（在
使得由归结原则得
得
的递增性知，此时
有
于是，当
于是B=A, 即
内的递增函数. 证明，若存在数列
内有界.
由
由极限保号性知，
存在
.
取
时，
则
当
使得当
时
知，
对亍
存在
使得当
时
且
使得
f x ）内有上界. 由确界原理知，（有上确界. 令
二、证明题
7． 用定义证明下列极限：
【答案】(1) 不妨
设
时有
由
于
故
即(2)
由不等式
得
于是取
则当
时有
故
于是
取
则
当