2017年河南科技学院数学分析(同等学力加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 计算下述积分
：
【答案】记
则
其中D 是矩形区域
(这里
)
2． 证明下列数列极限存在并求其值：
⑴设（2）设（3）
有上界2. 当n=l时，
显然成立，假设n=k
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【答案】（1）先用数学归纳法证数列
时成立，则
再证设
递增
，在等式由保不等式性可知
由数学归纳法知
. 因此
两边取极限得，
故
.
有上界2.
单调递增. 根据单调有界定理，极限
即
存在.
解得a=0或a=2.
因为
（2）首先证明数列是单调的
.
所以数列再证明数列要满足两个条件
：
此，可猜想数列
有上界是递增的.
是有上界的. 先猜想
（M 为某个正整数），再用数学归纳法来证明. 为此M 即
由于
，当n=l时，显然
的根为
因
假设n=k时成立，则n=k+l时，
即得
，
有上界. 由单调有界定理知，数列
解
得
（3）设M 是一个大于c 的正整数，即M>c，则当n>M时，
由
3． 求极限
【答案】由可得
于是，
可知
.
因此
由迫敛性得
的极限存在. 设
对因
为
所
以
两边取极限
因
此
其
中
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原极限
4． 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值，
【答案】(1) 解方程鉬由于在边
界
上
，
函数取最小值一4。
(2) 解方程组的稳
定点及其函数值有：
得
得
得
得
而边界
点(3) 解方程组
内部仅
5． 设
为稳定点
的函数值都等于1，所以函数的最大值点
为
最大值为1，函数的最小值点为(0，0) ，最小值为0.
得而在边界取得最大值
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得稳定点(0, 0) .
所以(0, 0) 不是极值点.
由
得稳定
点，同理，在边界
点
这
时
在
点上
，
函数取最大值4, 在
点考察边界上相应一元函数
比较各点的函数值知，在
点
得稳定点(0, 0) ，函数值
因此稳定点在或上，在区域
上函数
值均为零，所以函数在点在边界上取得最小值为0.
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