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一、解答题

1． 设

【答案】因为

求

所以由链式法则得到

最后以

2． 求下列全微分的原函数：

(1) (2) (3)

【答案】(1) 由于

代入即可.

从而积分与路径无关，其原函数

(2)

由于故其原函数

从而积分与路径无关，

或(3) 由即

易见积分与路径无关，故原式为某一函数的全微分，令

3． 从等式

出发，计算积分

【答案】

因为

以

4． 求幂级数

【答案】由于

因此另外

因此幕级数

5． 求函数

【答案】故有 6． 计算

【答案】

在任何不包含原点的区域内均有

在内连续，而且由M 判别法知

在内一致收敛，所

的收敛域及和函数.

的收敛域

的收敛域为

在点

处沿到点其方向余弦为

其中L 是椭圆

及和函数为

的方向因为

上的方向导数.

方向沿逆时针方向.

因此对任何完全落在L 内部且包含原点的封闭曲线C ，在L 和C 所夹的区域内应用格林公式，有

其中

表示在曲线C 上方向沿顺时针方向.

选取

适当小，使

完全落在L 内，则有

由此可得

二、证明题

7． 设函数f 只有可去间断点，定义

【答案】设g

的定义域为

当. 和

时，得

即

, 的值决定，而在

即当

上

时

g (x ) 的值由f (y ) 在邻域

则

证明为连续函数.

对于任给的

设

存在由，

使得知

由保不等式性

故g (x ) 在连续.

由的任意性知，g (X ) 在D 上连续.

8． 应用欧拉公式与棣莫弗公式证明：

【答案】将又因为

比较上面两式的实部与虚部可得

9． 试问下面的解题方法是否正确：求限

代入欧拉公式，得

证明：设由于

就不存在，不能设

两边取极

得a=2a，所以a=0.

【答案】这个解题方法是错误的. 因为