2017年鲁东大学数学分析(同等学力加试)复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 讨论广义积分
【答案】改写
当
时，因为
，所以当
即当
时，积分
的收敛性与绝对收敛性.
收敛，由于被积函数是正值，此收敛也是绝对收敛.
当知积分即当
时. 时，因为汷敛. 当
又当时，即当条件收敛.
时，
条件收敛；当
时，
即当时，积分
时，
所以由狄利克雷判别法绝对收敛；当
时，
综合以上结果，并由（1）式得：当绝对收敛。
2． 设
【答案】对方程组
试求
关于x 求导得
解之得
3． 证明：
含参量反常积分一致收敛.
【答案】(1) 令
有
根据定义，
取
有
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在上一致收敛(其中) ，在内不
(利用了
(2)
取
对于任意N>1，取
不等式) 使得
故
在
内不一致收敛.
4． 讨论下列无穷积分的收敛性：
【答案】（1）
由柯西判别法知，由柯西判别法知
由柯西判别法的推论2知
，由柯西判别法知，
（5）当敛。
当（6）当且仅当当
，
时
. 时，积分
收敛.
对于
收敛。
时.
收敛. 否则，发散。
时，
故此时
对于
由于
发散。 由于
故
故当且仅
时.
收敛。
收敛。
发散。
收敛。
故此时
收
综上所述，当且仅当
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5． 设为正实数，确定使在的范围（要叙述过程）.
【答案】当当可. 由
时，在事实上，当
时，显然在时，因为
在
上一致连续的的范围以及使在
上一致连续.
上一致连续，所以只要证明它在
不一致连续的A
上不一致连续.
上一致连续即
上有界可知，
在尽管
不一致连续. 当
时，取但是
故在
6． 展开
上不一致连续. 在
上的傅里叶级数.
另外
因此
在
上的傅里叶级数为
【答案】因为f (x ) 为偶函数，所以
二、证明题
7． 给定两正数
与
作出其等差中项
皆存在且相等.
可知
，所以
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与等比中项
，一般的令
证明:与
【答案】由又因为
因而
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