当前位置：问答库＞考研试题

一、解答题

1． 对下列各函数计算

【答案】（1）（2）（3）

2． 试作下列函数的图像：

（1）（4）

（2）,

（5）

（3

）

因此因此因此

【答案】各函数的图像如图1〜图5所示

.

图1 图2 图

3

图4 图5

3． 利用二重积分证明下列不等式：

(1) 设f (x ) 在[a, b]上连续，则号成立；

(2) 设p (x ) 是[a，b]上的正值可积函数，f (x ) ，g (x ) 是[a，b]上的正值单调递増的可积函数，则

【答案】(1) 因为f (x ) 在[a，b]上连续，所以f (x ) f (y ) 在区域于是

第 2 页，共 17 页

其中仅当f (x ) 为常量函数时等

上可积且连续，

等号成立当且仅当(2) 令则

交换x , y的位置又得

两式相加得

因为f (z ) ，g (x ) 是[a，b]上单调递增的可积函数，所以p (x )

是[a, b]上的正值可积函数，故

由g (x ) 为正值可积函数得

4． 已知

【答案】因为

5． 流体流速

求单位时间内穿过球面

是S 在三个坐标面上的投影面，则有

第 3 页，共 17 页

即f (x ) 为常量函数.

又

其中

则

在点x=a的某邻域内连续，求

的流量。

【答案】设S 为所给球面

，

其

中

分别

是

的单位法矢，显然有

^

故

从

而

于是所求流量为

6． 计算曲面积分

S 是闭曲面

【答案】由高斯公式，可得

其中

是由闭曲面S 所围的空间区域.

则

区域力变成

由对称性，有

方向取外侧.

作变换：

二、证明题

7． (1) 证明：若

(2) 证明：若f 在【答案】(1) 由于有

从而有

由

根据第(1) 题知：

8． 证明：(1) 设在

(2) 设在【答案】(1) 设

上可导，若上n 阶可导，若

和

都存在，则都存在，则

由拉格朗日中值定理得

第 4 页，共 17 页

收敛，且存在极限

上可导，

且存在，若

因

与

设

则 都收敛，则对

存在M ，使得当发散，于是

时，

也发散. 这

故

与已知条件矛盾，故有

(2)

设

收敛可知收敛，

所以