2018年延边大学理学院844分析与代数[专业硕士]之数学分析考研仿真模拟五套题
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一、证明题
1． 证明
:
【答案】令
, 则
原式
对上式右端第二个积分, 作变换
原式
这里用到了在
2． 设f （x ）在其中C 为一常数, 试证:
【答案】
在
若由于当故当所以
根据柯西准则,
此即表明
3． 分别用确界原理及区间套定理证明:若f （x ）在[0, 1]上单调递增, 且f （0）>0, f （1）<1,
则
, 使得
.
, 则S 是非空有界数集.
【答案】（1）利用确界原理证明:构造数集,
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,
.
, 则有
故
上
,
如果
（当
, 时）
上连续可微, 并且
上连续,
上一致连续, 从而则存在
在
对任给
上一致连续, 对于且时, 有
时, 有在存在
存在
在
上也一致连续. 使得
发散, 这与已知条件矛盾, 所以假设不成立,
即应有
记间套
,
, 则,
往证（反证法）.
, 则g （0）<0, g （1）>0.利用二等分法构造区
的端点处函数值异号,
（2）利用区间套定理证明:
设
若在分点处有g （x ）=0, 则结论成立, 否则g （x ）在每个区间由区间套定理, 存在唯一的
, 往证
二、解答题
4． 求下列极限:
（1）（2）（3）（4）（5）（6）【答案】 （1）（2）（3）（4）
（5）
（6）
5． 求由下列方程所确定的隐函数的偏导数:
（1）（2）
【答案】（1）令
、求z 对于x , y 的一阶与二阶偏导数；
,
求
和
, 则
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故
故
（2）把z 看成x , y 的函数, 两边对
x 求偏导数, 得
原方程两边关于y
求偏导数, 得故
6． 设V （t ）是曲线
.
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
又因为
所以
在
上的弧段绕x 轴旋转所得的体积, 试求常数c , 使
7． 确定下列初等函数的存在域:
（1）（3）【答案】（1）（2）由（3）故（4）故
得
故
的存在域为的存在域为的存在域为
的存在域为
由
（2）（4）
的存在域为R.
的存在域为由
得
得
8． 设二元函数f 在区域D=[a, b] ×[c, d]上连续.
（1）若在int D内有（2）若在intD 内有
试问f 在D 上有何特性？
f 又怎样？
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