2018年浙江工业大学理学院665数学分析之数学分析考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1． —个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水. 试问把水抽尽需作多少功？
【答案】如图所示, 功的微元为
, 故所求的功为
图
2． 求出椭球
在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.
切平面在坐标轴上的截距分别为:
则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为
故本题是求函数
在条件设令
下的最小值.
【答案】由几何学知, 最小体积存在. 椭球面上任一点（x , y , z ）处的切平面方程为
解得
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
故
3．
展开
为
上的傅里叶级数.
另外
因此
在
上的傅里叶级数为
4． （1）求
（2
）求（3
）求【答案】（
1
）以任意相乘, 记
则有
其中
即得
【答案】因为f （x ）为偶函数，所以
在x=0点的幂级数展开式;
的和
;
的和.
是一绝对收敛的级数. 由于绝对收敛级数可
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
（2）对展开的幂级数, 用阿贝尔引理得
（3）
5． 讨论广义重积分
的敛散性, 其中
【答案】因为被积函数恒正,
故可取时, D r 趋于D. 记
作变换:
, 则
显然当p>1时, 积分收敛, 且积分值为
6． 设
（2）求【答案】（1）即当n=0时, 原命题成立. 对
即
（2）把x=0代入等式又因为
, 所以
.
； , 故
两边求n 阶导数, 得
, 故当
时, 原命题成立. 得
,
,
.
.
. 当积分收敛时, 求积分的值.
.
显然当
（1）证明y 满足方程
二、证明题
7． 证明:
（1）可导的偶函数, 其导函数为奇函数；